AI 開始解開數學界的百年懸案：OpenAI「Astra」一次攻下 10 道十年未解難題，還附上機器可驗證的證明
OpenAI 內部模型 Astra 一口氣解開 10 道十年以上未解的數學難題，並用 Lean 4 產出零錯誤、機器可驗證的證明，成本僅約 2000 美元。AI 正式從「會考試」跨進「做研究」。
過去這一兩年，AI 在數學上的表現一直停留在「很會考試」的階段——奧林匹亞金牌、刷高分基準測試，看起來厲害，但本質上還是在解人類早就會解、只是很難的題目。2026 年 8 月，這條界線被跨過去了。OpenAI 公布了一份 249 頁的報告，宣稱一個尚未公開、內部代號「Astra」的模型，一口氣解開了 10 道數學與理論計算機科學上的未解難題——每一道都懸而未決至少十年，多數更久。這不再是把已知答案算得又快又漂亮，而是真的產出了人類過去做不出來的新結果。
Astra 到底做了什麼
這 10 道題橫跨高維幾何、編碼理論、群論、量子複雜度、格密碼學到極值組合學。其中最受矚目的一項，是明確建構出一個「非 sofic 群（non-sofic group）」，一舉回答了數學家 Gromov 在 1999 年提出概念後、困擾學界二十多年的一個核心問題。這不是那種「電腦跑很多組合、暴力搜出反例」的結果，而是需要真正的數學構造與洞見。
更關鍵的是驗證方式。OpenAI 把 10 道證明全部用 Lean 4 這套形式化證明語言重寫，並把「證明憑證」放上 GitHub、以 Apache 2.0 授權開源。懂行的人會直接去看一個數字：這份程式庫的「sorry」計數是零。在 Lean 裡，「sorry」是一個佔位符，代表「這一步我先跳過、還沒證」；零 sorry 意味著所有步驟、跨全部 10 道證明，每一步都經過機器逐行檢查、完全成立。換句話說，就算你不相信 AI、也不相信 OpenAI，你仍然可以讓電腦幫你把整份證明從頭驗一遍。
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為什麼「現在」值得關注
要理解這件事的份量，得把時間往前拉一點。今年 5 月 20 日，OpenAI 先用一個內部模型，找到了 Erdős（艾狄胥）著名的「單位距離問題」的反例——這是 1946 年提出、學界普遍相信「應該是對的」長達 80 年的猜想，結果 AI 找到了一個排列方式，證明大家都想錯了。當時劍橋與法蘭西公學院的數學家 Tim Gowers 給了一句很重的評價：如果這是人寫的論文投到頂級期刊《Annals of Mathematics》，他會「毫不猶豫建議接受」。8 月的 Astra，是把這種能力從「單點突破」變成「批量產出」。
這裡有個很有意思的舞台，叫 erdosproblems.com。它是曼徹斯特大學數學家 Thomas Bloom 在 2023 年做的一個網站，把 Erdős 一生提出的上千道問題整理成一份清單，還標注哪些已解、哪些還開著。Bloom 當初只是自己方便查，甚至用 ChatGPT 幫他寫網站程式碼。沒想到這份清單意外成了各大 AI 實驗室的共同競技場——因為它把「有沒有真本事」變成可以客觀計分的東西。Google DeepMind 今年初派 24 人團隊，用 Gemini 系統性掃過 700 道標記為「open」的猜想；5 月又有另一支 21 人團隊宣布，最強的代理人自主解開了 353 道形式化 Erdős 問題中的 9 道。
更值得玩味的，是「誰」在解題
Quanta Magazine 的深度報導點出一個反直覺的現象：在企業實驗室大張旗鼓之前，很多新結果其實是業餘愛好者與大學生用公開版的 ChatGPT 做出來的。兩位二十出頭的年輕人 Kevin Barreto 和 Liam Price，在 Discord 上認識，靠著「用特定方式提示、讓模型以為題目比實際簡單」的技巧，去年底就開始成批餵題目給模型。他們一度以為自己是史上第一個讓 LLM 完全自主解開 Erdős 問題的人——雖然幾小時後被指出 Erdős 本人早在 1977 年就解過了，鬧了個烏龍——但幾天後，他們用 GPT-5.2 Pro 確實解出了另一道沒人做過的題。
這裡浮現出一個新的工作型態：Price 發展出一套方法論，先叫一個聊天機器人給解法，再把解法丟進另一個全新的機器人請它「檢查前一個的工作」，反覆迭代直到看起來站得住腳。這其實就是各大公司內部所謂「鷹架（scaffold）」的手工版本。連當今最負盛名的數學家陶哲軒（Terence Tao），都在 Bloom 的網站留言區跟一位「客服公司上班、十年前差點念完數學碩士」的業餘愛好者 van Doorn 一來一往討論證明。這是網路最理想的樣子：有沒有終身教職、在不在名校、年紀多大都不重要，只要你有好點子，就能找到人一起做。
對產業與科學的真正影響
第一個衝擊是成本。OpenAI 估算，Astra 產出這 10 道解答所燒的 token，換算成公開 API 價格大約只要 2,000 美元；DeepMind 那批的「每題成本」則是幾百美元的量級。當解一道困擾學界數十年的難題，價格掉到跟請人做一週專案差不多，數學家就可以「把整個待解清單一次全丟進去」，而不再只是精挑細選幾道來展示。這會把數學研究的節奏整個改寫。
第二個衝擊是可信度的基礎設施。Astra 的做法之所以有說服力，關鍵不在「AI 說它證出來了」，而在「Lean 幫你逐行驗過、零 sorry」。這其實給所有想用 AI 做嚴謹工作的領域一個範本：讓 AI 負責產生想法，讓形式化工具負責把關對錯。這種「生成歸生成、驗證歸驗證」的分工，遠比盲目相信模型輸出來得健康。
但陰影也一起浮現。Bloom 自己就很擔心：「一大堆用 AI 的人根本不是數學家，沒能力驗證輸出，卻求快，叫 AI 產證明、叫 AI 檢查、再叫 AI 寫成論文——結果一篇 100 到 200 頁的文章貼出來，沒有任何人類真的讀過，也不會有人去讀。」當生成的速度遠遠超過人類消化與審核的速度，學界要怎麼維持品質與信任，會是接下來最現實的難題。連陶哲軒都選擇暫時退出這個社群，專心把自己手上的工作做完。
我的觀點：這是放大器，不是取代者
值得先潑一盆冷水的是，OpenAI 的研究員 Noam Brown 自己承認，他們也試著攻克更大的難題、但失敗了——「很遺憾，還沒有千禧年大獎問題」。Bloom 也直接反駁「AI 要取代數學家」的說法：這個模型是數學家打造的、訓練資料是數學家寫過的一切、用的是人類累積超過一世紀的理論，它更像是站在所有人肩膀上的放大器，而不是憑空取代誰。
對我來說，這件事最深的啟示不在數學本身，而在它示範了一種和 AI 協作的正確姿勢。van Doorn 有句話講得很好：他讀 AI 給的想法，會去消化、簡化、推廣，最後自己寫出來的證明「更簡單、更一般化、對別人來說更好讀」。AI 負責跨出那一步靈光，人負責把它變成別人能理解、能信任、能接續的東西。這跟我們平常用 AI 寫程式、做設計、跑分析其實是同一件事——真正的價值，從來不是「誰按下生成鍵」，而是「誰能判斷這東西對不對、好不好、值不值得留下」。
Erdős 生前喜歡替難題掛上一筆自掏腰包的小獎金，從 10 美元到數千美元不等，當作一場給世人的遊戲。他大概沒想到，幾十年後，他的問題會變成衡量地表最強科技公司的一把尺，而人們討論的單位，會從「懸賞多少錢」變成「每題燒多少 token」。這既讓人興奮，也帶點惆悵。可以確定的是：AI 已經真正走進了知識創造的最前線，而接下來更關鍵的問題，是我們人類要如何把「驗證」與「判斷」這兩件事，重新擺回它們該在的位置。